Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie
euclidienne : aux droites, aux cercles, aux rectangles, aux cubes... Ils nous
permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les
troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères.
Mais comment fait-on pour décrire un chou-fleur, un flocon de neige ou même un
arbre entier ? En effet, les choses se compliquent, la géométrie euclidienne a
atteint sa limite.
Les scientifiques ne se sont pas découragés, et le mathématicien
Mandelbrot, généralisant les travaux des Français Gaston Julia et Pierre
Fatou sur les itérations des fonctions complexes, a montré l'intérêt de la géométrie
fractale pour caractériser les objets "ayant la propriété de pouvoir être
décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite
du tout".
Vous l'avez bien compris, la géométrie fractale permet de
caractériser des objets ayant une forme très irrégulière, et qui ont la
propriété d'invariance par changement d'échelle. C'est à dire que si vous
regardez un objet fractal au microscope ou à l'oeil nu, vous allez voir la même
chose. Cette particularité d'autosimilarité est très étonnante, et les
fractales ont bien d'autres propriétés, plus fascinantes les unes que les
autre.
Le terme "fractale" vient du latin, "fractus"
qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière. C'est Benoît
Mandelbrot qui a introduit ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques.
Maintenant que le terme "fractale" a été mis au clair, et que le
lecteur a une idée de ce qu'est un objet fractal grâce aux quelques
illustrations, nous allons voir comment certaines fractales sont construites.
Prenons un exemple simple, la courbe de Von Koch.
Pour construire cette courbe, il faut débuter avec deux formes géométriques : un initiateur et un générateur. Le générateur est une ligne brisée faite de n segments égaux de longueur r. En partant de l'initiateur, chaque étape de la construction consiste à remplacer chaque segment de la ligne brisée par une copie du générateur, réduite et placée de telle façon à ce que les deux points aux extrémités soient les points des extrémités du segment à remplacer. Une étape de la construction va être appelée "itération", puisque l'on répète la même opération un certain nombre de fois.