Rappels
On connaît bien le terme "3D" qui désigne un espace en 3 dimensions,
c'est à dire avec trois axes : x,y et z. Par exemple, un cube est un objet en 3
dimensions. Mais il existe aussi d'autres dimensions :
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Objet |
Représentation |
Dimension |
Mesure |
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un point |
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0 |
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une ligne |
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1 |
mètres |
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une figure plane |
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2 |
mètres carré |
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un solide |
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3 |
mètres cube |
On remarque qu'il y a un lien entre la dimension de l'objet et
son unité de mesure. Un objet de dimension 2 se mesure en m2 et un
objet de dimension 3 en m3.
Pour l'instant, nous n'avons vu que des dimensions entières, nous allons
maintenant mesurer la dimension d'une fractale. Et pour ce faire, vérifions que
la dimension d'une ligne est bien 1, et celle d'une figure plane 2.
Mesurons la longueur d'un segment
Pour calculer la dimension de certains
objets, nous allons utiliser la méthode suivante : nous allons prendre un étalon
de cet objet, c'est à dire cet objet lui même mais en plus petit, et nous
allons le reporter sur notre objet un certain nombre de fois.
Soit L la longueur totale du segment.
Nous allons prendre un étalon de longueur n que l'on va reporter sur le
segment. Cet étalon sera reporté
fois. On
remarque que
.
Mesurons la surface d'un carré
Soit L2 la surface totale du carré.
Cette fois, nous prenons un autre carré, plus petit, de côté n et de surface
n2. On va reporter le petit carré sur le grand
fois
pour obtenir la surface du grand carré. On a
.
Dans ces deux exemples, on a fait apparaître le nombre 1 pour le
segment, et le nombre 2 pour le carré. Ces nombres sont la dimension de
l'objet.
Généralisons, soit N le nombre de fois que l'on reporte l'étalon
de longueur n sur notre objet de longueur L, et soit d la dimension de l'objet,
on a :
Nous avons vu que pour calculer la dimension d'un objet géométrique,
on utilise un étalon, c'est à dire l'objet lui même mais en plus petit. On
peut utiliser la même méthode pour les objets fractals puisqu'ils ont la
propriété autosimilarité Calculons la dimension de la courbe de Von Koch.
Nous pouvons donc calculer la dimension de n'importe quels objets
fractals à la condition de connaître leurs mesures.
Ne nous hasardons pas à aller chercher des objets complexes dans
quelques galaxies alors que la fractale la plus connue se trouve dans votre
assiette au déjeuner. Eh oui ! qui l'y eut cru, le chou-fleur est bien une
fractale ! Vous avez sûrement déjà remarqué que quand on découpe le
chou-fleur, on le casse au lieu de le couper, et ça donne plein de petits
choux-fleurs, qui eux même peuvent donner d'autres plus petits choux-fleurs.
Cette particularité d'auto similarité à différentes échelles fait du
chou-fleur une fractales.
Calculons à présent la dimension fractale du chou-fleur. Quand
on casse le chou-fleur, on obtient entre 12 et 14 branches qui ressembles au
chou-fleur entier à une dilatation près. Cette dilatation est, si on la
calcule, de facteur 3. Donc, selon la formule ci-dessus, la dimension du
chou-fleur est d'environ log(13)/log(3) = 2,33.
